Black-Scholes 方程式
$ \frac{\partial V(S_t,t)}{\partial t}+\frac 1 2\sigma^2{S_t}^2\frac{\partial^2 V(S_t,t)}{\partial {S_t}^2}+rS_t\frac{\partial V(S_t,t)}{\partial S_t}-rV=0
$ tは今年を$ 0とした年單位の時點
$ rは連續複利で計算される年換算の無 risk 金利 (force of interest)
$ S_tは時點$ tでの原資產 (underlying asset) の價格
$ Tは option の滿了時刻
$ Kは option の權利行使價格
$ N'(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}は正規分布$ {\cal N}(x|0,1)の確率密度函數。積分した$ N(x)は累積分布函數 $ V(S_t,t)は option の價格
$ C(S_t,t)=N(d_+)S_t-N(d_-)Ke^{-r(T-t)}は European call option の價格
$ d_+=\frac 1{\sigma\sqrt{T-t}}\left(\log\left(\frac{S_t}K\right)+\left(r+\frac{\sigma^2}2\right)(T-t)\right)
$ d_-=d_+-\sigma\sqrt{T-t}
$ P(S_t,t)=N(-d_-)Ke^{-r(T-t)}-N(-d_+)S_tは European put option の價格
volatility$ V(S_t,t)